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21 - Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos.
Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de:
(A) 14,89%.
(B) 15,25%.
(C) 16,33%.
(D) 18,45%.
(E) 20,00%.
Item do programa – Equivalência financeira.
Esta é uma questão simples de juros compostos e explora o conceito de taxas equivalentes.
A questão informa que um capital qualquer (R$ 100,00, por exemplo) foi aplicado durante um ano, à taxa de 10%, e, ao final desse período, o montante foi reaplicado, a uma taxa de 20%.
Essa aplicação geraria então um montante final de R$ 132,00, conforme cálculo abaixo:
R$ 100,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,20) = R$ 132,00 |
No cálculo acima, foram utilizadas duas taxas: 10% e 20%.
A pergunta é: qual taxa, aplicada sobre o mesmo capital, no mesmo período, geraria o mesmo montante?
M = C (1+ i)n |
Sendo:
M = R$ 132,00
C = R$ 100,00
n = 2
i = ?
R$ 132,00 = R$ 100 ( 1 + i)²
√132 / 100 = 1 + i
√ 1,32 = 1 + i
Agora é só extrair a raiz quadrada de 1,32.
A extração da raiz quadrada é um método demorado para poder ser utilizado na hora da prova. Mas existe um método que garante uma aproximação e serve para encontrar a resposta, que é o que interessa.
Passos:
1) encontrar um número próximo de 1,32 do qual saibamos a raiz (é só lembrar dos quadrados perfeitos). Neste caso, temos 1,21 e 1,44, que possuem, respectivamente, as raízes 1,1 e 1,2. Podemos usar qualquer um deles, pois são quase equidistantes de 1,32 e, portanto, levarão a resultados muito próximos, senão iguais.
2) fazer o cálculo: A raiz aproximada do número procurado(RNP) é igual à soma do número procurado(NP) com o próximo quadrado(PQ) dividido por duas vezes a raiz quadrada do próximo quadrado(RPQ).
RNP = | (NP + PQ) |
RPQ + RPQ |
Fazendo o cálculo com 1,21 e sua raiz 1,1:
√ 1,32 = (1,32 + 1,21) / (1,1 + 1,1)
√ 1,32 = 2,53 / 2,2
√ 1,32 = 1,15 (aproximadamente)
3) Testar o resultado:
1,15 x 1,15 = 1,3225
Conclusões:
a) 1,15² corresponde a um pouco mais de 1,32. Então a raiz quadrada de 1,32 é ou pouco menor do que 1,15;
b) a taxa de juros (i) é um pouco menor do que 0,15, ou seja, os juros efetivos anuais são um pouco menor do que 15%.
Alguma das alternativas de resposta atende?
Sim. É a letra A, com 14,89% a.a.
Gabarito: letra A
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