Cálculo da mediana com utilização do método da interpolação linear

40. Considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. 

 

Valores arrecadados	Frequências Relativas
1.000,00 |------ 2.000,00 2.000,00 |------ 3.000,00 3.000,00 |------ 4.000,00 4.000,00 |------ 5.000,00 5.000,00 |------ 6.000,00	0,10 0,35 0,25 0,20 0,10
Total	1,00

Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da respectiva mediana é

a) R$ 3.120,00

b) R$ 3.200,00

c) R$ 3.400,00

d) R$ 3.600,00

e) R$ 3.800,00

Resolução:

Primeiro, deve-se construir a coluna de freqüência acumulada e localizar a classe onde se encontra a mediana.

Valores arrecadados	Frequências Relativas (Fi)	Fac
1.000,00 |----- 2.000,00 2.000,00 |----- 3.000,00 3.000,00 |----- 4.000,00 4.000,00 |----- 5.000,00 5.000,00 |----- 6.000,00	0,10 0,35 0,25 0,20 0,10	0,10 0,45 0,70 0,90 1,00
Total	1,00

Pode-se notar então que a mediana encontra-se na classe que vai de 3.000,00 a 4.000,00, pois nesta classe está incluído o valor arrecadado que corresponde a frequência acumulada de 0,50 (entre 0,45 e 0,70).

Pelo método da interpolação linear, o cálculo da mediana (Md) fica assim:

(4.000 - 3.000)    está para   (0,70 - 0,45),      assim como:

(Md - 3.000)        está para   (0,50 - 0,45)

   1.000           0,25

----------- = -------

Md - 3.000       0,05

(Md - 3.000) x 0,25 = 1.000 x 0,05

0,25Md - 750 = 50

1/4 Md = 50 + 750

Md = 800 x 4/1

Md = 3.200

Resposta: Letra B

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Mediana

36 - Determine a media das seguintes observações:


17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9


a) 13,5
b) 14
c) 17
d) 15,5
e) 14,5


Resolução:


I - Formar um rol (colocar todos os números em ordem crescente)


3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 31, 34
Total de observações: 20


II - Como o rol tem uma quantidade par de elementos, a mediana será a média aritmética dos elementos centrais: 13 e 14.


Mediana = (13 + 14) / 2 = 13,5


Resposta: Letra A

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Estatística descritiva - ICMS-SP/2009/FCC - Questão 39

39. Considere a tabela de frequências relativas abaixo, que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. Sabe-se que:

I - As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente.

II - A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo).

Valores arrecadados	Frequências Relativas
1.000,00 |------ 2.000,00 2.000,00 |------ 3.000,00 3.000,00 |------ 4.000,00 4.000,00 |------ 5.000,00 5.000,00 |------ 6.000,00	0,10 x y 0,20 0,10
Total	1,00

A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00.

a) 70%

b) 65%

c) 55%

d) 45%

e) 40%

Comentários:

1º passo - Incluir na tabela a coluna com o produto do Ponto médio (PM) pela freqüência relativa (Fi), cujo somatório será igual a R$ 3.350,00, que o valor da média fornecido pelo enunciado [ Média = ∑ (PM x Fi) / ∑ Fi ].

Valores arrecadados	Frequências Relativas (Fi)	PM x Fi
1.000,00 |------ 2.000,00 2.000,00 |------ 3.000,00 3.000,00 |------ 4.000,00 4.000,00 |------ 5.000,00 5.000,00 |------ 6.000,00	0,10 x y 0,20 0,10	150,00 2.500,00x 3.500,00y 900,00 550,00
Total	1,00	3.350,00

Com base nessa tabela, podemos montar um sistema de equações, com segue:

Da coluna Fi à Da coluna PM x Fi à Multiplicando a primeira por (-25)

x + y = 0,60 25x + 35y = 17,50 -25x – 25y = -15,00 - 10y = - 2,5 y = 2,5/10 à y = 0,25 então x = 0,35

2º passo – Construir a coluna de freqüência acumulada.

Valores arrecadados	Frequências Relativas (Fi)	Fac
1.000,00 |------ 2.000,00 2.000,00 |------ 3.000,00 3.000,00 |------ 4.000,00 4.000,00 |------ 5.000,00 5.000,00 |------ 6.000,00	0,10 0,35 0,25 0,20 0,10	0,10 0,45 0,70 0,90 1,00
Total	1,00

Agora, sim!
A questão pede o percentual de valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00.

Obs.: A simbologia (|------) indica que o valor igual a R$ 3.000,00 não está incluído na segunda linha, mas somente na terceira linha.

Na tabela, verifica-se que a freqüência acumulada até R$ 3.000,00 (este valor não incluído) é de 0,45. Ou seja, 45% dos recolhimentos estão ABAIXO de R$ 3.000,00. Portanto, 55% dos recolhimentos são iguais ou maiores que R$ 3.000,00).

Resposta: Letra C

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