Taxa Mínima de Atratividade (TMA) e Valor Presente Líquido (VPL) utilizados como fatores de decisão entre projetos de investimento

54. Considere a tabela abaixo, que apresenta valores de:

(1 + i)ⁿ     e	An ┐i =  (1 + i) ⁿ - 1	, para i = 0,30.
	i . (1 + i) ⁿ

n	(1 + i)ⁿ	An ┐i
1	1,3000	0,7692
2	1,6900	1,3609
3	2,1970	1,8161
4	2,8561	2,1662
5	3,7129	2,4356
6	4,8268	2,6427
7	6,2749	2,8021
8	8,1573	2,9247
9	10,6045	3,0190
10	13,7858	3,0915

Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina A ou pela máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje duas opções:

Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com custo de manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):

Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com custo de manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais):

Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos das opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade de 30% ao ano, então

(A) AII − AI = R$ 785,06

(B) AII − AI = R$ 1.045,06
(C) AII − AI = R$ 2.030,04
(D) AI − AII = R$ 785,06
(E) AI − AII = R$ 1.045,06

Comentários e resposta da questão:

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Desconto "por fora" ou comercial na Prova do ICMS RJ 2011

21 - Um título com valor de R$ 15.000,00 a vencer em 4 meses é descontado no regime de juros simples a uma taxa de desconto “por fora” de 6,25% ao mês. O valor presente do título é igual a

(A)  R$ 9.750.

(B)  R$ 12.000.

(C)  R$ 11.769.

(D) R$ 10.850.

(E)  R$ 11.250.

Resolução da questão:

O desconto “por fora” ou comercial é aquele em que os juros são calculados com base no valor nominal do título, enquanto que no desconto “por dentro” ou racional, os juros são calculados sobre o valor atual do título.

Observe a tabela abaixo, o forma de cálculo utilizando regra de três:

Desconto “por fora” ou COMERCIAL		Desconto “por dentro” ou RACIONAL
Valor nominal   -->   100 Desconto   -->   (i x n)		Valor atual   -->   100 Desconto   -->   (i x n)
O valor NOMINAL está para 100, assim como o DESCONTO está para a taxa (i) multiplicada pelo período (n)		O valor ATUAL está para 100, assim como o DESCONTO está para a taxa (i) multiplicada pelo período (n)

Obs.; (i) e (n) devem estar sempre especficados no mesmo período de tempo.

         No Brasil, o desconto comercial é muito mais utilizado, pois seu cálculo é muito mais fácil,  já que este leva em consideração o valor nominal do título, que é um elemento conhecido.

         Além disso, quem faz o cálculo, normalmente, é o banco. E banqueiro não é bobo! Nessa forma de desconto, os juros são sempre maiores do que no desconto racional.

Dados da questão:

Valor nominal (VN): R$ 15.000,00

Período: 4 meses

Taxa de juros: 6,25% ao mês

Valor atual (VA): ?

Desconto: ?

Cálculo:

R$ 15.000,00   -->   100 Desconto  -->   6,25 x 4	Desconto = R$ 15.000,00 x 25                           100
	Desconto = R$ 3.750,00 Como: VA = VN – D VA = R$ 15.000,00 – R$ 3.750,00 VA = R$ 11.250,00

Resposta: Letra A

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Juros simples - Cálculo com utilização de regra de três

51.    Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que:

− daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo;

− daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras.

Nessas condições, o valor de C é igual a

a)     R$ 3.654,00

b)     R$ 3.648,00

c)      R$ 3.640,00

d)     R$ 3.620,00

e)     R$ 3.600,00

Resolução da questão

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Matemática Financeira - Taxas Equivalentes

21 - Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos.

Para que a mesma quantia, aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada à taxa anual efetiva única de:

(A) 14,89%.

(B) 15,25%.

(C) 16,33%.

(D) 18,45%.

(E) 20,00%.

Comentário e resposta da questão

Item do programa – Equivalência financeira.

Outras questões da prova ICMS-RJ 2010

Esta é uma questão simples de juros compostos e explora o conceito de taxas equivalentes.

A questão informa que um capital qualquer (R$ 100,00, por exemplo) foi aplicado durante um ano, à taxa de 10%, e, ao final desse período, o montante foi reaplicado, a uma taxa de 20%.

Essa aplicação geraria então um montante final de R$ 132,00, conforme cálculo abaixo:

R$ 100,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,20) = R$ 132,00

No cálculo acima, foram utilizadas duas taxas: 10% e 20%.

A pergunta é: qual taxa, aplicada sobre o mesmo capital, no mesmo período, geraria o mesmo montante?

M = C (1+ i)n

Sendo:

M = R$ 132,00

C = R$ 100,00

n = 2

i = ?

R$ 132,00 = R$ 100 ( 1 + i)²

√132 / 100  = 1 + i

 √ 1,32 = 1 + i

Agora é só extrair a raiz quadrada de 1,32.

A extração da raiz quadrada é um método demorado para poder ser utilizado na hora da prova. Mas existe um método que garante uma aproximação e serve para encontrar a resposta, que é o que interessa.

Passos:

1)  encontrar um número próximo de 1,32 do qual saibamos a raiz (é só lembrar dos quadrados perfeitos). Neste caso, temos 1,21 e 1,44, que possuem, respectivamente, as raízes 1,1 e 1,2. Podemos usar qualquer um deles, pois são quase equidistantes de 1,32 e, portanto, levarão a resultados muito próximos, senão iguais.

2)   fazer o cálculo: A raiz aproximada do número procurado(RNP) é igual à soma do número procurado(NP) com o próximo quadrado(PQ) dividido por duas vezes a raiz quadrada do próximo quadrado(RPQ).

RNP =	(NP + PQ)
	RPQ + RPQ

Fazendo o cálculo com 1,21 e sua raiz 1,1:

√ 1,32 = (1,32 + 1,21) / (1,1 + 1,1)

√ 1,32 = 2,53 / 2,2

√ 1,32 = 1,15 (aproximadamente)

3)  Testar o resultado:

1,15 x 1,15 = 1,3225

Conclusões:

a)  1,15² corresponde a um pouco mais de 1,32. Então a raiz quadrada de 1,32 é ou pouco menor do que 1,15;

b)  a taxa de juros (i) é um pouco menor do que 0,15, ou seja, os juros efetivos anuais são um pouco menor do que 15%.

Alguma das alternativas de resposta atende?

Sim. É a letra A, com 14,89% a.a.

Gabarito: letra A

Outras questões da prova ICMS-RJ 2010

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Fluxos de caixa equivalentes

36. Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é:

(Despreze os centavos na resposta.)

(A) R$ 2.122,00.

(B) R$ 1.922,00.

(C) R$ 4.041,00.

(D) R$ 3.962,00.

(E) R$ 4.880,00.

Resolução e resposta da questão:

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Desconto Simples por fora: Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20%

34. Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros cobrada pelo banco é de, aproximadamente:

(A) 9,2%.

(B) 12,6%.

(C) 11,1%.

(D) 10,3%.

(E) 18,4%.

Resolução:

No desconto simples por fora os juros são aplicados sobre o valor de face do título (valor nominal).

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Um financiamento no valor de R$ 612.800,00 deve ser pago pelo Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais

25-Um financiamento no valor de R$ 612.800,00 deve ser pago pelo Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal de 30% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro semestre, a segunda ao fim do segundo semestre, e assim sucessivamente. Obtenha o valor mais próximo da amortização do saldo devedor embutido na segunda prestação.

a) R$ 10.000,00
b) R$ 8.081,00
c) R$ 9.293,00
d) R$ 9.740,00
e) R$ 10.687,00

Comentários:

Dados da questão:
Valor do financiamento: R$ 612.800,00
Sistema de Amortização: Tabela Price
Parcelas de pagamento: 18 semestrais
Taxa de juros: 15% ao semestre

Em primeiro lugar, vamos encontrar o valor da prestação.
Na tabela de Fator de Valor Presente de Uma Série Uniforme, encontramos o fator 6,1280 para n=18 e i=15%. Dividindo o valor do financiamento por este fator encontraremos R$ 100.000,00, que é o valor da prestação.

Agora, vamos ver em cada prestação de R$ 100.000,00, quanto é que corresponde a juros e quanto corresponde a amortização de capital.

1ª parcela:

Saldo ao final do primeiro período de seis meses = R$ 612.800,00 x 1,15 = R$ 704.720,00
Valor da prestação: R$ 100.000,00
Saldo devedor após pagamento da prestação: R$ 704.720,00 - R$ 100.000,00 = R$ 604.720,00
Capital amortizado na primeira prestação: R$ 612.800,00 - R$ 604.720,00 = R$ 8.080,00

2ª parcela:

Saldo ao final do segundo período de seis meses = R$ 604.720,00 x 1,15 = R$
695.428
Valor da prestação: R$ 100.000,00
Saldo devedor após pagamento da prestação: R$ 695.428,00 - R$ 100.000,00 = R$ 595.428,00
Capital amortizado na segunda prestação: R$ 604.720,00 - R$ 595.428,00 = R$ 9.292,00

Resposta: Letra C

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Tabela de Fator de VALOR PRESENTE de uma SÉRIE UNIFORME

Para encontrar o Valor Presente: multiplique o valor da parcela pelo fator n/i.
Para encontrar o valor da parcela: Divida o valor presente pelo fator n/i.

n/i	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
1	0,9901	0,9804	0,9709	0,9615	0,9524	0,9434	0,9346	0,9259	0,9174	0,9091
2	1,9704	1,9416	1,9135	1,8861	1,8594	1,8334	1,8080	1,7833	1,7591	1,7355
3	2,9410	2,8839	2,8286	2,7751	2,7232	2,6730	2,6243	2,5771	2,5313	2,4869
4	3,9020	3,8077	3,7171	3,6299	3,5460	3,4651	3,3872	3,3121	3,2397	3,1699
5	4,8534	4,7135	4,5797	4,4518	4,3295	4,2124	4,1002	3,9927	3,8897	3,7908
6	5,7955	5,6014	5,4172	5,2421	5,0757	4,9173	4,7665	4,6229	4,4859	4,3553
7	6,7282	6,4720	6,2303	6,0021	5,7864	5,5824	5,3893	5,2064	5,0330	4,8684
8	7,6517	7,3255	7,0197	6,7327	6,4632	6,2098	5,9713	5,7466	5,5348	5,3349
9	8,5660	8,1622	7,7861	7,4353	7,1078	6,8017	6,5152	6,2469	5,9952	5,7590
10	9,4713	8,9826	8,5302	8,1109	7,7217	7,3601	7,0236	6,7101	6,4177	6,1446
11	10,3676	9,7868	9,2526	8,7605	8,3064	7,8869	7,4987	7,1390	6,8052	6,4951
12	11,2551	10,5753	9,9540	9,3851	8,8633	8,3838	7,9427	7,5361	7,1607	6,8137
13	12,1337	11,3484	10,6350	9,9856	9,3936	8,8527	8,3577	7,9038	7,4869	7,1034
14	13,0037	12,1062	11,2961	10,5631	9,8986	9,2950	8,7455	8,2442	7,7862	7,3667
15	13,8651	12,8493	11,9379	11,1184	10,3797	9,7122	9,1079	8,5595	8,0607	7,6061
16	14,7179	13,5777	12,5611	11,6523	10,8378	10,1059	9,4466	8,8514	8,3126	7,8237
17	15,5623	14,2919	13,1661	12,1657	11,2741	10,4773	9,7632	9,1216	8,5436	8,0216
18	16,3983	14,9920	13,7535	12,6593	11,6896	10,8276	10,0591	9,3719	8,7556	8,2014
19	17,2260	15,6785	14,3238	13,1339	12,0853	11,1581	10,3356	9,6036	8,9501	8,3649
20	18,0456	16,3514	14,8775	13,5903	12,4622	11,4699	10,5940	9,8181	9,1285	8,5136

n/i	11%	12%	13%	14%	15%	16%	17%	18%	19%	20%
1	0,9009	0,8929	0,8850	0,8772	0,8696	0,8621	0,8547	0,8475	0,8403	0,8333
2	1,7125	1,6901	1,6681	1,6467	1,6257	1,6052	1,5852	1,5656	1,5465	1,5278
3	2,4437	2,4018	2,3612	2,3216	2,2832	2,2459	2,2096	2,1743	2,1399	2,1065
4	3,1024	3,0373	2,9745	2,9137	2,8550	2,7982	2,7432	2,6901	2,6386	2,5887
5	3,6959	3,6048	3,5172	3,4331	3,3522	3,2743	3,1993	3,1272	3,0576	2,9906
6	4,2305	4,1114	3,9975	3,8887	3,7845	3,6847	3,5892	3,4976	3,4098	3,3255
7	4,7122	4,5638	4,4226	4,2883	4,1604	4,0386	3,9224	3,8115	3,7057	3,6046
8	5,1461	4,9676	4,7988	4,6389	4,4873	4,3436	4,2072	4,0776	3,9544	3,8372
9	5,5370	5,3282	5,1317	4,9464	4,7716	4,6065	4,4506	4,3030	4,1633	4,0310
10	5,8892	5,6502	5,4262	5,2161	5,0188	4,8332	4,6586	4,4941	4,3389	4,1925
11	6,2065	5,9377	5,6869	5,4527	5,2337	5,0286	4,8364	4,6560	4,4865	4,3271
12	6,4924	6,1944	5,9176	5,6603	5,4206	5,1971	4,9884	4,7932	4,6105	4,4392
13	6,7499	6,4235	6,1218	5,8424	5,5831	5,3423	5,1183	4,9095	4,7147	4,5327
14	6,9819	6,6282	6,3025	6,0021	5,7245	5,4675	5,2293	5,0081	4,8023	4,6106
15	7,1909	6,8109	6,4624	6,1422	5,8474	5,5755	5,3242	5,0916	4,8759	4,6755
16	7,3792	6,9740	6,6039	6,2651	5,9542	5,6685	5,4053	5,1624	4,9377	4,7296
17	7,5488	7,1196	6,7291	6,3729	6,0472	5,7487	5,4746	5,2223	4,9897	4,7746
18	7,7016	7,2497	6,8399	6,4674	6,1280	5,8178	5,5339	5,2732	5,0333	4,8122
19	7,8393	7,3658	6,9380	6,5504	6,1982	5,8775	5,5845	5,3162	5,0700	4,8435
20	7,9633	7,4694	7,0248	6,6231	6,2593	5,9288	5,6278	5,3527	5,1009	4,8696

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